http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/133 2026-06-04T08:05:41Z 2026-06-04T08:05:41Z Матурін, Юрій Петрович Хаць, Руслан Васильович Комарницька, Леся Іванівна http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9973 2026-05-28T14:45:43Z 2026-05-27T00:00:00Z

Название: Алгоритмічний аналіз рівняння Бесселя засобами диференціальної теорії Галуа Авторы: Матурін, Юрій Петрович; Хаць, Руслан Васильович; Комарницька, Леся Іванівна Краткий осмотр (реферат): У статті подано спосіб академічного і водночас методично доступного пояснення алгоритмічних засад систем комп’ютерної алгебри на прикладі рівняння Бесселя. Предметом розгляду є не чисельне знаходження наближень і не технічна робота з програмним середовищем, а внутрішня логіка строгого алгебраїчного висновку про те, чи може лінійне диференціальне рівняння другого порядку мати розв’язок у скінченних термінах. Для цього використано поняття диференціального поля, Окрему увагу приділено змісту алгоритму Ковачіча як навчального об’єкта. Пояснено, що цей алгоритм спирається на класифікацію можливих підгруп спеціальної лінійної групи матриць другого порядку і тому має не лише обчислювальний, а й доказовий характер.Він дозволяє встановити, чи існує розв’язок у вигляді експоненти інтеграла раціональної функції, чи задача зводиться до квадратичного розширення, чи можуть виникати скінченні примітивні групи, або ж потрібно визнати відсутність ліувіллевих розв’язків. Для підготовки магістрів з математики така логіка є принциповою, бо вона переводить увагу з зовнішнього вигляду формули на структуру об’єкта. У результаті рівняння розглядається не як набір символів, до якого треба підібрати вдалу підстановку, а як диференціальний об’єкт, для якого можна досліджувати тип розширення, властивості групи автоморфізмів і межі алгоритмічної розв’язності. Це істотно змінює характер навчального матеріалу і робить його ближчим до сучасного розуміння символьних обчислень. Запропоновано модель подання теми у навчальному курсі. Її доцільно будувати як послідовність кількох етапів: перехід до нормальної форми, аналіз особливих точок раціональної функції, встановлення можливих випадків алгоритму, відсікання неможливих варіантів і формулювання остаточного висновку про існування або відсутність ліувіллевих розв’язків. Така схема не перевантажує курс зайвою термінологією, але дає змогу показати, як із теоретичних положень виростає чітка алгоритмічна процедура. Практична цінність дослідження полягає в тому, що складні положення диференціальної алгебри та теорії лінійних диференціальних рівнянь другого порядку подано у формі, придатній для освітнього використання в магістерській підготовці. Запропонований підхід можна використовувати в курсах диференціальних рівнянь, абстрактної алгебри, математичного аналізу та дисциплін, пов’язаних із цифровими математичними технологіями. Він формує в здобувачів освіти уявлення про принципи роботи систем комп’ютерної алгебри, розвиває вміння пов’язувати аналітичні властивості функцій з алгебраїчною структурою рівнянь і створює основу для подальшого вивчення алгоритмів символьного інтегрування та теорії спеціальних функцій.

2026-05-27T00:00:00Z Матурін, Юрій Петрович Хаць, Руслан Васильович Комарницька, Леся Іванівна http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9798 2026-05-17T11:22:22Z 2026-05-17T00:00:00Z

Название: Методика вивчення застосувань полів Галуа в комп'ютерних науках Авторы: Матурін, Юрій Петрович; Хаць, Руслан Васильович; Комарницька, Леся Іванівна Краткий осмотр (реферат): У статті розроблено, теоретично обґрунтовано та концептуа-лізованоцілісну інноваційну методичну модель вивчення застосувань скінченних полів Галуа в комп’ютерних науках для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти, які навчаються за освітньо-професійною програмою «Середня освіта (Математика, інформатика)». Актуальність дослідження зумовлена наявністю глибокої системної кризи у викладанні абстрактної алгебри, яка в освітній практиці майбутніх педагогів традиційно репрезентується переважно через суворо дедуктивний, аксіоматично замкнений і недостатньо пов’язаний із реальними прикладними задачами підхід. Наслідком цього є виникнення у магістрантів істотних когнітивних бар’єрів, що виявляються у фрагментарному сприйнятті математичного знання та у відсутності цілісного бачення взаємозв’язку між теорією груп, кілець і полів, з одного боку, та сучасними інформаційними технологіями, з іншого. Метою статті є подолання окресленого дидактичного розриву шляхом системної інтеграції математичної абстракції з поняттєвим і алгоритмічним апаратом комп’ютерних наук крізь призму сучасної криптографії та теорії кодування.

2026-05-17T00:00:00Z Хаць, Руслан Васильович Комарницька, Леся Іванівна Матурін, Юрій Петрович http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9513 2026-04-17T12:00:06Z 2026-04-17T00:00:00Z

Название: Класифікація відображень у курсах вищої математики: міждисциплінарний аспект Авторы: Хаць, Руслан Васильович; Комарницька, Леся Іванівна; Матурін, Юрій Петрович Краткий осмотр (реферат): У статті актуалізовано проблему фрагментарності формування фундаментальних математичних понять у процесі фахової підготовки здобувачів вищої освіти. Об’єктом дослідження є методика навчання поняття «відобра-ження» (функції), яке виступає інваріантним ядром сучасної математики, проте часто сприймається студентами ізольовано в контексті окремих навчальних дисциплін. Метою роботи є теоретичне обґрунтування та розробка цілісної методичної системи класифікації відображень, що базується на міждисциплінарному синтезі знань із дискретної математики, лінійної та абстрактної алгебри, а також математичного аналізу. Авторами здійснено ґрунтовний порівняльний аналіз реалізації властивостей ін’єктивності, сюр’єктивності та бієктивності в різних математичних структурах. Для лінійної алгебри систематизовано критерії класифікації операторів через поняття ядра (Kernel) та образу (Image),а також проілюстровано дію теореми про ранг і дефект у скінченновимірних просторах. Особливу увагу приділено подоланню когнітивних розривів при переході до нескінченновимірних просторів. На прикладі векторного простору многочленів та операторів диференціювання і множення на змінну розкрито обмеженість інтуїтивних уявлень про матриці та продемонстровано випадки існування односторонніх обернених операторів (лівих та правих), що є критично важливим для розуміння основ функціонального аналізу та квантової механіки. У статті також висвітлено прикладний аспект класифікації відображень, зокрема в теорії кодування та криптографії, де вимоги до ін’єктивності та оборотності є критичними для коректності алгоритмів шифрування та відновлення даних. Запропонована методика дозволяє трансформувати сприйняття студентами математичних дисциплін від набору розрізнених алгоритмів до єдиної логічно впорядкованої системи. Зроблено висновок, що наскрізне вивчення класифікації відображень сприяє формуванню універсальної математичної компетентності, розвиває абстрактне мислення та забезпечує глибше розуміння структурної єдності математики. Результати дослідження можуть бути імплементовані в навчальні програми університетських курсів для підвищення якості фізико-математичної освіти.

2026-04-17T00:00:00Z Хаць, Руслан Васильович Матурін, Юрій Петрович Комарницька, Леся Іванівна http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9253 2026-03-23T08:00:57Z 2026-03-21T00:00:00Z

Название: Математичний та методичний аспекти забезпечення наступності у вивченні функцій Авторы: Хаць, Руслан Васильович; Матурін, Юрій Петрович; Комарницька, Леся Іванівна Краткий осмотр (реферат): У статті розкрито математичні та методичні засади забезпечення наступності між шкільною та університетською математичною освітою на матеріалі формування поняття функції та опанування способів її задання. Показано, що типові труднощі учнів і студентів зумовлені насамперед зміною рівня абстракції: від інтуїтивно-наочного уявлення про залежність величин у школі до строгого теоретико-множинного розуміння функції як відображення між множинами з фіксацією області визначення й множини значень, а також із використанням понять ін’єкції, сюр’єкції та бієкції. Систематизовано способи задання функцій у шкільному курсі (аналітичний, табличний, графічний, словесно-описовий) та у курсах вищої математики, алгебри й математичного аналізу (параметричний, неявний, а також задання як розв’язку функціональних рівнянь). Окреслено дидактичні можливості кожного способу та роль цілеспрямованих переходів між репрезентаціями у формуванні функціонального, алгоритмічного й абстрактного мислення: від «формули» до «таблиці» і «графіка», а згодом - до дослідження властивостей, інтерпретації моделей та розв’язування рівнянь і нерівностей. Наголошено на методичній трансформації у ЗВО: область визначення часто не задається наперед і встановлюється в процесі дослідження; змістовно зростає роль мови множин, операцій з образами й прообразами та коректного читання графіка. Окрему увагу приділено роботі зі звуженням і продовженням функцій як засобу подолання розриву між шкільними уявленнями та університетською строгістю: ці операції інтерпретовано як інструмент узгодження математичної моделі з предметною областю задачі, пояснення оборотності/необоротності відображень і підготовки до подальших тем аналізу та алгебри. Підкреслено потенціал цифрових інструментів (динамічні математичні середовища на кшталт GeoGebra, Desmos тощо) як «містка» між формалізмом і наочністю: вони забезпечують швидку візуалізацію параметричних кривих і неявно заданих залежностей, дослідження впливу параметрів та демонстрацію логічних умов, що визначають область визначення або звуження функції. Зроблено висновок, що наступність у вивченні функцій досягається не простим повторенням, а якісним поглибленням змісту через теорію множин, розширення арсеналу репрезентацій і систематичне керування переходами між ними, з опорою на цифрові засоби та дослідницькі стратегії навчання.

2026-03-21T00:00:00Z