http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/123 Mon, 20 Apr 2026 15:21:27 GMT 2026-04-20T15:21:27Z http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9513 Название: Класифікація відображень у курсах вищої математики: міждисциплінарний аспект Авторы: Хаць, Руслан Васильович; Комарницька, Леся Іванівна; Матурін, Юрій Петрович Краткий осмотр (реферат): У статті актуалізовано проблему фрагментарності формування фундаментальних математичних понять у процесі фахової підготовки здобувачів вищої освіти. Об’єктом дослідження є методика навчання поняття «відобра-ження» (функції), яке виступає інваріантним ядром сучасної математики, проте часто сприймається студентами ізольовано в контексті окремих навчальних дисциплін. Метою роботи є теоретичне обґрунтування та розробка цілісної методичної системи класифікації відображень, що базується на міждисциплінарному синтезі знань із дискретної математики, лінійної та абстрактної алгебри, а також математичного аналізу. Авторами здійснено ґрунтовний порівняльний аналіз реалізації властивостей ін’єктивності, сюр’єктивності та бієктивності в різних математичних структурах. Для лінійної алгебри систематизовано критерії класифікації операторів через поняття ядра (Kernel) та образу (Image),а також проілюстровано дію теореми про ранг і дефект у скінченновимірних просторах. Особливу увагу приділено подоланню когнітивних розривів при переході до нескінченновимірних просторів. На прикладі векторного простору многочленів та операторів диференціювання і множення на змінну розкрито обмеженість інтуїтивних уявлень про матриці та продемонстровано випадки існування односторонніх обернених операторів (лівих та правих), що є критично важливим для розуміння основ функціонального аналізу та квантової механіки. У статті також висвітлено прикладний аспект класифікації відображень, зокрема в теорії кодування та криптографії, де вимоги до ін’єктивності та оборотності є критичними для коректності алгоритмів шифрування та відновлення даних. Запропонована методика дозволяє трансформувати сприйняття студентами математичних дисциплін від набору розрізнених алгоритмів до єдиної логічно впорядкованої системи. Зроблено висновок, що наскрізне вивчення класифікації відображень сприяє формуванню універсальної математичної компетентності, розвиває абстрактне мислення та забезпечує глибше розуміння структурної єдності математики. Результати дослідження можуть бути імплементовані в навчальні програми університетських курсів для підвищення якості фізико-математичної освіти. Fri, 17 Apr 2026 00:00:00 GMT http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9513 2026-04-17T00:00:00Z http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9339 Название: Вища математика в прикладах і задачах. Ч. 2. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної Авторы: Хаць, Руслан Васильович Краткий осмотр (реферат): Навчально-методичний посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни „Вища математика” для підготовки фахівців першого (бакалаврського) рівня вищої освіти за спеціальностями F3 «Комп’ютерні науки», D3 «Менеджмент», A4 «Середня освіта (Технології)», А5 «Професійна освіта (Транспорт)», затвердженої вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Він містить лекційний матеріал, завдання для практичних занять, індивідуальні завдання, завдання для самостійної роботи, поточного та підсумкового контролю. Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9339 2026-01-01T00:00:00Z http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9253 Название: Математичний та методичний аспекти забезпечення наступності у вивченні функцій Авторы: Хаць, Руслан Васильович; Матурін, Юрій Петрович; Комарницька, Леся Іванівна Краткий осмотр (реферат): У статті розкрито математичні та методичні засади забезпечення наступності між шкільною та університетською математичною освітою на матеріалі формування поняття функції та опанування способів її задання. Показано, що типові труднощі учнів і студентів зумовлені насамперед зміною рівня абстракції: від інтуїтивно-наочного уявлення про залежність величин у школі до строгого теоретико-множинного розуміння функції як відображення між множинами з фіксацією області визначення й множини значень, а також із використанням понять ін’єкції, сюр’єкції та бієкції. Систематизовано способи задання функцій у шкільному курсі (аналітичний, табличний, графічний, словесно-описовий) та у курсах вищої математики, алгебри й математичного аналізу (параметричний, неявний, а також задання як розв’язку функціональних рівнянь). Окреслено дидактичні можливості кожного способу та роль цілеспрямованих переходів між репрезентаціями у формуванні функціонального, алгоритмічного й абстрактного мислення: від «формули» до «таблиці» і «графіка», а згодом - до дослідження властивостей, інтерпретації моделей та розв’язування рівнянь і нерівностей. Наголошено на методичній трансформації у ЗВО: область визначення часто не задається наперед і встановлюється в процесі дослідження; змістовно зростає роль мови множин, операцій з образами й прообразами та коректного читання графіка. Окрему увагу приділено роботі зі звуженням і продовженням функцій як засобу подолання розриву між шкільними уявленнями та університетською строгістю: ці операції інтерпретовано як інструмент узгодження математичної моделі з предметною областю задачі, пояснення оборотності/необоротності відображень і підготовки до подальших тем аналізу та алгебри. Підкреслено потенціал цифрових інструментів (динамічні математичні середовища на кшталт GeoGebra, Desmos тощо) як «містка» між формалізмом і наочністю: вони забезпечують швидку візуалізацію параметричних кривих і неявно заданих залежностей, дослідження впливу параметрів та демонстрацію логічних умов, що визначають область визначення або звуження функції. Зроблено висновок, що наступність у вивченні функцій досягається не простим повторенням, а якісним поглибленням змісту через теорію множин, розширення арсеналу репрезентацій і систематичне керування переходами між ними, з опорою на цифрові засоби та дослідницькі стратегії навчання. Sat, 21 Mar 2026 00:00:00 GMT http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9253 2026-03-21T00:00:00Z http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9109 Название: Аксіоматичний та конструктивний підходи до побудови теорій числових множин Авторы: Хаць, Руслан Васильович; Комарницька, Леся Іванівна; Матурін, Юрій Петрович Краткий осмотр (реферат): У статті здійснено методологічний аналіз двох базових стратегій побудови математичних теорій - аксіоматичної та конструктивної - на матеріалі формування числових множин ℕ, ℚ і ℝ.Показано, як вибір первісних понять і системи аксіом організовує логічну архітектоніку теорії та визначає тип доведень, а також як конструктивні процедури (зокрема побудова ℚ через класи упорядкованих пар та ℝ через дедекіндові прорізи / інші еквівалентні моделі) забезпечують «прозору» генетичну мотивацію ключових властивостей чисел. Окрему увагу приділено дидактично значущим вузлам: (i) аксіоматиці Пеано та ролі індукції як принципу доведення і як універсального методу побудови рекурсивних означень, що є спільним інструментом для дискретної математики й теорії алгоритмів; (ii) аксіоматиці ℝ із неперервністю (у формі принципу вкладених проміжків) та її еквівалентним формулюванням через аксіому існування точної верхньої межі, що виводить на поняття повноти й забезпечує строгий фундамент границь, неперервності, рядів і теорем існування в математичному аналізі. Аргументовано, що запропонований у статті синтез підходів має безпосередні навчально-методичні застосування: - у математичному аналізі - як логічне обґрунтування повноти ℝ (вкладені проміжки / супремум) і як коректне введення базових аналітичних понять; - у лінійній алгебрі - як прояснення статусу поля скалярів (ℚ, ℝ), залежності властивостей векторних просторів та лінійних операторів від алгебраїчних і порядкових аксіом чисел; - в алгебрі та теорії чисел - як демонстрація переходу від структур ℕ (індукція, рекурсія) до ℤ, ℚ, та як методологічне підґрунтя для понять еквівалентності, факторизації, гомоморфізмів і «конструкцій через класи»; - у математичній логіці - як природне поле для роботи з поняттями аксіоми, моделі, несуперечливості й (не)повноти теорій у зв’язку з підходом до побудови теорії; - у дискретній математиці - як узгоджене введення відношень, еквівалентностей та індуктивних доведень, що підтримує формування культури строгого міркування. Отримані висновки можуть бути використані для побудови «наскрізних» модулів між курсами (аналіз ↔ логіка ↔ дискретна математика ↔ алгебра ↔ лінійна алгебра), де одна й та сама ідея (аксіома/конструкція/модель) працює як спільна методологічна рамка, підвищуючи цілісність математичної підготовки здобувачів освіти. Thu, 12 Mar 2026 00:00:00 GMT http://ir.dspu.edu.ua/jspui/handle/123456789/9109 2026-03-12T00:00:00Z